算法——动态规划
一、动态规划五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
二、动态规划基础题目
1.斐波那契数
题目：
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。
示例 1：
- 输入：2
- 输出：1
- 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：
- 输入：3
- 输出：2
- 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：
- 输入：4
- 输出：3
- 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
提示：
- 0 <= n <= 30
代码：
//递归
class Solution {
public int fib(int n) {
if(n<2){
return n;
}
return fib(n-1)+fib(n-2);
}
}记录：
感觉斐波那契数不算经典的动态规划问题，更像是递归函数使用的经典范例。这里递归关系为dp[i]=dp[i-1]+dp[i+1]。
2.爬楼梯问题
题目：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
- 输入： 2
- 输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶
示例 2：
- 输入： 3
- 输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
代码：
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0]=1;
dp[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}记录
这应该算是比较典型的动态规划问题了。
按照五部曲来，dp数组表示到达第i阶台阶的方法数;
递推公式：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
dp数组初始化：dp[0]=1;dp[1]=1;
确定遍历顺序：由递推公式可知由前往后递推。
3.使用最小花费爬楼梯
题目：
数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i]（下标从 0 开始）。
每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。
请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。
示例 1：
- 输入：cost = [10, 15, 20]
- 输出：15
- 解释：最低花费是从 cost[1] 开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费 15 。
示例 2：
- 输入：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
- 输出：6
- 解释：最低花费方式是从 cost[0] 开始，逐个经过那些 1 ，跳过 cost[3] ，一共花费 6 。
提示：
- cost 的长度范围是 [2, 1000]。
- cost[i] 将会是一个整型数据，范围为 [0, 999] 。
4.不同路径
题目：
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
- 输入：m = 3, n = 7
- 输出：28
示例 2：
- 输入：m = 2, n = 3
- 输出：3
解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向右 -> 向下
- 向右 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向右
示例 3：
- 输入：m = 7, n = 3
- 输出：28
示例 4：
- 输入：m = 3, n = 3
- 输出：6
提示：
- 1 <= m, n <= 100
- 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9
5.不同路径2
题目：
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1：
- 输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
- 输出：2 解释：
- 3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
- 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
- 输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
- 输出：1
提示：
- m == obstacleGrid.length
- n == obstacleGrid[i].length
- 1 <= m, n <= 100
- obstacleGridi 为 0 或 1
6.整数拆分
题目：
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
- 输入: 2
- 输出: 1
- 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
- 输入: 10
- 输出: 36
- 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
- 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
7.不同的二叉搜索树
题目：
给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
示例: